实数的大小比较是整个数学逻辑的基石。在数轴上，实数与点一一对应。通过观察点的位置，我们可以直观感知“不等”。
基本事实：
基本事实：
- 如果 $a-b$ 是正数，那么 $a>b$;
- 如果 $a-b$ 等于 0，那么 $a=b$;
- 如果 $a-b$ 是负数，那么 $a< b$。
不等式的核心性质：
1. 传递性：$a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. 加法：$a > b \iff a + c > b + c$
3. 乘法：$c > 0 \Rightarrow ac > bc$; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$
1. 传递性：$a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. 加法：$a > b \iff a + c > b + c$
3. 乘法：$c > 0 \Rightarrow ac > bc$; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$
$$a > b \iff a - b > 0$$
1. 收集多项式各项：一个 x² 正方形，三个 x 矩形条，以及两个 1x1 单位正方形。
2. 开始将它们在几何上进行拼接。
3. 它们完美地形成了一个更大的连续长方形！宽度是 (x+2)，高度是 (x+1)。
질문 1
下列关于不等关系建模的表示，错误的是：
某路段限速 $40\text{ km/h}$ 表示为 $v \le 40$
酸奶脂肪含量 $f$ 不少于 $2.5\%$ 表示为 $f > 2.5\%$
三角形两边之和大于第三边表示为 $a+b > c$
垂线段 $d_{\text{垂}}$ 不大于斜线段 $d_{\text{斜}}$ 表示为 $d_{\text{垂}} \le d_{\text{斜}}$
正确！“不少于”意味着“大于或等于”，应表示为 $f \ge 2.5\%$。
注意关键词：“不少于”包含等于的情况。请重新检查各选项的符号含义。
질문 2
比较 $(x+3)(x+7)$ 和 $(x+4)(x+6)$ 的大小结果为：
$(x+3)(x+7) > (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) = (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) < (x+4)(x+6)$
无法确定，取决于 $x$ 的值
正确。作差得：$(x^2+10x+21) - (x^2+10x+24) = -3 < 0$，故前项小于后项。
提示：使用作差法。展开两个多项式后相减，观察结果的常数项。
질문 3
在证明不等式性质 1, 3, 4, 6 时，最基本的理论依据是：
实数大小比较的基本事实 ($a>b \iff a-b>0$)
等式的对称性与传递性
函数的单调性
几何图形的面积关系
正确。不等式的所有基本性质都是通过作差并根据实数运算的正负性质推导出来的。
回顾课程开篇：所有性质的推导起点都是 $a-b$ 的正负。
질문 4
若 $x$ 是实数，则 $\sqrt{x^2+x-12}$ 有意义的条件是：
$x > 3$ 或 $x < -4$
$x \ge 3$ 或 $x \le -4$
$-4 \le x \le 3$
$x \in \mathbf{R}$
正确。二次根式有意义要求被开方数非负，即 $x^2+x-12 \ge 0$，解得 $(x+4)(x-3) \ge 0$，即 $x \ge 3$ 或 $x \le -4$。
二次根式内部必须满足 $\ge 0$。这是一个一元二次不等式问题。
질문 5
若 $a>b$，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$，则必有：
$ab > 0$
$ab < 0$
$a > 0, b < 0$
$a < 0, b > 0$
正确。由 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$ 得 $\frac{b-a}{ab} > 0$。因为 $a>b$，所以 $b-a<0$。要使分式大于 0，分母 $ab$ 必须小于 0。
提示：对 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ 进行通分作差，并结合 $a-b$ 的符号判断分母 $ab$ 的正负。
질문 6
若 $a, b > 0$，且 $ab = a+b+3$，求 $ab$ 的取值范围。
$ab \ge 4$
$ab \ge 9$
$ab > 3$
$ab \ge 6$
正确。由 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ 可得 $ab-3 \ge 2\sqrt{ab}$。令 $t=\sqrt{ab}$，则 $t^2-2t-3 \ge 0 \Rightarrow t \ge 3$，故 $ab \ge 9$。
利用基本不等式 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ 进行代换转化。
질문 7
关于不等式性质，下列说法正确的是：
若 $a>b, c>d$，则 $ac > bd$
若 $a>b$，则 $ac^2 > bc^2$
若 $a>b>0$，则 $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{b^2}$
若 $a>b, c< d$，则 $a-c < b-d$
正确。因为 $a^2 > b^2 > 0$，取倒数后不等号方向改变。
选项 A 缺少正数前提；选项 B 当 $c=0$ 时等号成立；选项 D 应该是 $a-c > b-d$。
질문 8
已知 $a > b$, 证明 $\frac{a+b}{2} > b$ 的正确步骤逻辑是：
因为 $a > b$, 所以 $a+b > 2b$, 故 $\frac{a+b}{2} > b$
因为 $b < a$, 所以 $\frac{a}{2} < b$, 故不成立
由基本不等式直接得出
当且仅当 $a=b$ 时等号成立
正确。利用性质 3（加法）：在 $a>b$ 两边同时加上 $b$ 得到 $a+b>2b$，再利用性质 4（乘法）除以 2。
这是基于不等式加法性质的简单推导。
질문 9
某高速公路规定通过车辆的车货总高度 $h$ 不能超过 $4\text{m}$，其数学表示为：
$h < 4$
$h \le 4$
$h > 4$
$0 < h \le 4$
正确。“不能超过”包含等于 4 的情况。虽然物理意义上 $h>0$，但纯数学描述为 $h \le 4$。
关键词：“不能超过”。
질문 10
比较圆（周长为 $L$）与正方形（周长为 $L$）的面积 $S_1$ 与 $S_2$：
$S_1 = S_2$
$S_1 > S_2$
$S_1 < S_2$
无法比较，取决于 $L$ 的数值
正确。$S_1 = L^2/4\pi$, $S_2 = L^2/16$。由于 $4\pi \approx 12.56 < 16$，分母越小分值越大，故圆面积更大。
计算并比较 $\frac{L^2}{4\pi}$ 与 $\frac{L^2}{16}$ 的大小。
挑战：蓄水池造价的最优设计
建模与不等式综合应用
要建造一个容积为 $1200 \text{ m}^3$，深为 $6 \text{ m}$ 的长方体无盖蓄水池。已知池壁的造价为 95 元/$\text{m}^2$，池底的造价为 135 元/$\text{m}^2$。如何设计水池的长与宽，才能使总造价控制在 7 万元以内？
과제 1
建立关于总造价 $y$ 与底面边长 $x$ 的不等式模型。
设底面一边长为 $x$ 米，则另一边长为 $\frac{1200/6}{x} = \frac{200}{x}$ 米。
池底面积为 $200 \text{ m}^2$，造价为 $200 \times 135 = 27000$ 元。
池壁总面积为 $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12(x + \frac{200}{x})$。
总造价 $y = 27000 + 95 \times 12(x + \frac{200}{x}) = 27000 + 1140(x + \frac{200}{x})$。
要求 $y \le 70000$。
池底面积为 $200 \text{ m}^2$，造价为 $200 \times 135 = 27000$ 元。
池壁总面积为 $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12(x + \frac{200}{x})$。
总造价 $y = 27000 + 95 \times 12(x + \frac{200}{x}) = 27000 + 1140(x + \frac{200}{x})$。
要求 $y \le 70000$。
과제 2
求解不等式，确定长与宽的取值范围（精确到 $0.1 \text{ m}$）。
$27000 + 1140(x + \frac{200}{x}) \le 70000$
$1140(x + \frac{200}{x}) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
整理得 $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$。
利用求根公式得 $x \approx 6.4$ 或 $x \approx 31.3$。
故长与宽的范围应在 $6.4 \text{ m}$ 到 $31.3 \text{ m}$ 之间。
$1140(x + \frac{200}{x}) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
整理得 $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$。
利用求根公式得 $x \approx 6.4$ 或 $x \approx 31.3$。
故长与宽的范围应在 $6.4 \text{ m}$ 到 $31.3 \text{ m}$ 之间。
✨ 核心要点
作差法，定正负，大小关系显真著。乘负数，变符号，逻辑严密不能漏！
💡 作差法三部曲
第一步“作差”，第二步“变形”（常通过因式分解或配方），第三步“定号”。
💡 小心负数！
不等式两边同时乘以或除以一个负数时，务必记得改变不等号的方向。这是最易错的地方。
💡 基本不等式前提
使用 $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$ 必须满足：一正（$a,b > 0$）、二定（积或和为定值）、三相等（$a=b$ 时等号成立）。
💡 等价性思维
$a>b \iff a-b>0$ 是双向等价的，在证明题中常作为转化的第一步。
💡 生活语言转化
“至多”对应 $\le$，“至少”对应 $\ge$，“超过”对应 $>$，“不足”对应 $<$。